1- предлагаю
Здесь идет чередование в корнях: если после корня нет суффикса -а-, то корень -лог- (предЛОГ).
Если есть - корень -лаг- (предлАгАть).
2- если ты о Е и Ё, то это всем известный факт, что все равно какую букву писать, если это не документ.
Поэтому предлАгаю тебе вялого хряпнуть